Kamis, 16 April 2009

Teori Ralat

PENGUKURAN DAN TEORI RALAT

  1. PENDAHULUAN

Eksperimen ilmiah umumnya didominasi oleh observasi dalam wujud aktivitas pengukuran dan analisis data. Tujuannya antara lain verifikasi model teoritis (rumus) yang telah ada, atau mencari dan menentukan konstanta fisika. Hasilnya dapat digunakan sebagai umpan balik bagi model teori tersebut. Teori yang baik harus dapat menjelaskan gejala-gejala alam, bahkan lebih dari itu harus dapat meramalkan berbagai gejala baru yang perlu diuji dengan eksperimen-eksperimen baru. Jadi, peran pengukuran dan analisis data dalam perkembangan ilmu pengetahuan sangat penting. Secara umum praktikum fisika dasar adalah ajang latihan eksperimen mahasiswa baru untuk mengenal berbagai aspek pengukuran maupun analisis data. Paling tidak ada dua hal penting sebagai latar belakang mengapa pengalaman praktikum tersebut penting. Pertama, di SMA praktikum belum menjadi aktivitas akademik wajib sehingga apresiasi siswa boleh dikatakan masih memprihatinkan. Kedua, saat menekuni profesinya nanti prinsip-prinsip pengukuran dan analisis data harus dikuasai dengan baik.

  1. RALAT ATAU KETIDAKPASTIAN HASIL PENGUKURAN

Sebelum diuraikan bagaimana ralat atau ketidakpastian selalu meliputi hasil pengukuran, akan dijelaskan pengertian pengukuran. Pengukuran adalah tindakan yang bertujuan untuk menentukan kuantitas dimensi suatu besaran pada suatu sistem, dengan cara membandingkannya dengan satu satuan dimensi besaran tersebut, menggunakan alat ukur yang telah terkalibrasi dengan baik.

Hasil pengukuran berupa angka-angka yang diteruskan ke khalayak untuk keperluan ilmiah atau sekedar keperluan praktis saja. Agar keperluan tersebut tercapai ada beberapa pertanyaan yang muncul. Adakah jaminan bahwa hasil pengukuran tersebut tidak salah? Jika menyimpang dari nilai sebenarnya, berapa penyimpangan tersebut? Seberapa jauh hasil pengukuran dapat dipercaya? Bagaimana memberitahukan hasil pengukuran tersebut?

Hasil suatu pengukuran tidak bisa dijamin tepat karena pada suatu pengukuran, misalnya dihasilkan angka 4,38 namun jika diulang bisa saja muncul 4,37 atau 4,39 atau 4,38 atau angka lain yang tak dapat dipastikan. Selalu ada ketidakpastian pada setiap angka yang diperoleh dari pengukuran. Sumbernya berasal dari ketidaksempurnaan alat, metode atau cara, dan manusia sebagai pelaku pengukuran.

Yang patut dilakukan dengan semua keadaan itu adalah meghindari kesalahan yang mungkin. Tetapi terpulang pada ketidaksempurnaan manusia, itu adalah hal yang mustahil dilakukan. Oleh sebab itu pada akhirnya harus disadari bahwa setiap pengukuran selalu mengandung kesalahan dalam bentuk ketidakpastian hasil. Jadi selain harus menyajikan hasil pengukuran dengan tatacara yang tepat, perlu pula disampaikan secara jujur suatu taksiran ketidakpastian yang terikut dalam hasil pengukuran. Rambu-rambu inilah yang harus diperhatikan oleh pelaku eksperimen sehingga orang akan dapat mengapresiasi hasil pengukuran secara wajar.

  1. JENIS KESALAHAN DAN SUMBERNYA

    Jenis kesalahan sebagai penyebab ketidakpastian hasil pengukuran adalah:

  1. Kesalahan sistematis (systematic errors)

    Adalah ketidak-akuratan hasil pengukuran akibat alat, kalibrasi atau teknik ukur yang salah. Misalnya:

    1. Kesalahan alat:
    • kesalahan nol (zero error) akibat tidak berimpitnya titik nol skala dengan titik nol jarum penunjuk.
    • kelelahan (fatigue) alat karena misalnya pegas yang dipakai telah lembek.
    • gesekan antar bagian yang bergerak.
    • dan sebagainya.

      Kesalahan ini bisa dihindari bila alat ukur diganti dengan yang lebih baik jika mungkin.

    1. Kesalahan kalibrasi yaitu ketidak-tepatan pemberian skala ketika pertama kali alat dibuat. Bisa dihindari dengan membandingkan alat tersebut dengan alat baku (standar).
    2. Kesalahan pribadi pengamat:
    • Kesalahan parallax yaitu kesalahan akibat posisi mata saat pembacaan skala tidak tepat tegak lurus di atas jarum.
    • Kesalahan interpolasi yaitu salah membaca kedudukan jarum diantara dua garis skala terdekat.
    • Penguasaan prosedur dan ketangkasan penggunaan alat. Beberapa peralatan membutuhkan prosedur yang rumit, misalnya osiloskop, yang membutuhkan ketrampilan pemakaian yang cukup.
    • Sikap pengamat, misalnya kelelahan maupun keseriusan pengamat.

      Sumber kesalahan ini dapat dihindari dengan sikap pengamatan yang baik, memahami sumber kesalahan dan berlatih sesering mungkin.

    1. Pemakaian alat pada kondisi berbeda dengan saat dikalibrasi, yaitu pada kondisi suhu, tekanan atau kelembaban yang berbeda. Itulah sebabnya perlu dicatat nilai variabel atau kondisi lingkungan saat eksperimen dilakukan, misalnya suhu dan tekanan udara di laboratorium.
  1. Kesalahan Rambangan (random errors)

    Walupun kesalahan sistematis sudah berusaha dihindari, namun masih ada sumber kesalahan lain berasal dari luar sistem dan tak dapat dikuasai sepenuhnya:

    1. Gerak brown molekul udara yang dapat mempengaruhi penunjukan alat-alat halus seperti galvanometer.
    2. Fluktuasi tegangan listrik yang tak teratur yang dapat mempengaruhi hasil pengukuran dengan alat-alat ukur listrik.
    3. Landasan (meja, lantai atau dudukan lain) alat yang bergetar akibat lalu lintas atau sumber lain.
    4. Noise atau bising pada rangkaian elektronika.
    5. Latar belakang radiasi kosmos pada pengukuran dengan pencacah radioaktif.
  1. NILAI SEBENARNYA, NILAI PENDEKATAN TERBAIK DAN PENYIMPANGAN

Secara ringkas dari uraian di atas, kesalahan bersumber dari ketidaksempurnaan manusia dalam membuat alat, bersikap atau mengantisipasi prilaku alam. Akibatnya adalah kesalahan pengukuran tidak mungkin dihindari sehingga hasilnya bukanlah nilai sebenarnya (true value) dari besaran yang diukur. Ingatlah bahwa nilai sebenarnya tak akan pernah diketahui selamanya. Oleh sebab itu perlu dilakukan:

  1. Pemilihan nilai pendekatan terbaik (best value) sebagai pengganti nilai sebenarnya.
  2. Pemilihan suatu nilai lainnya sebagai ukuran dari “penyimpangan” nilai pendekatan terbaik (best value) terhadap nilai sebenarnya (true value). Nilai ini sekaligus sebagai ukuran seberapa jauh nilai pendekatan terbaik dapat dipercaya.
  1. PENGUKURAN TUNGGAL DAN BERULANG

Pengukuran tunggal (satu kali) adalah pengukuran yang dilakukan hanya sekali dan menghasilkan satu nilai data saja. Pengukuran berulang adalah pengukuran yang dilakukan berkali-kali tanpa ada perubahan penyetelan (setting) alat, misalnya lebar meja yang diukur 10 kali dengan mistar yang sama. Seandainya pengukuran sekali dan berulang telah dilakukan dengan sebaik-baiknya, sehingga tiap data masing-masing model pengukuran diperoleh dengan cara-cara yang sama baiknya, tetap saja kualitas data pengukuran berulang lebih baik dari pengukuran sekali. Mengapa demikian?

Data hasil pengukuran sekali kurang dipercaya karena mungkin saja jika pengukurannya diulang akan diperoleh data yang berbeda. Intuisi kita menyatakan semakin banyak pengukuran dilakukan akan diperoleh informasi yang lebih lengkap tentang nilai sebenarnya. Kita pasti setuju dengan pernyataan atau aksioma bahwa nilai sebenarnya akan dapat diperoleh bila pengukuran dilakukan dalam jumlah yang tak terbilang. Tetapi alat akan rusak atau pengamat akan sakit bila dilakukan pengukuran sebanyak-banyaknya. Jadi berapa banyak pengukuran yang harus dilakukan? Bagaimana cara menentukan nilai pendekatan terbaik? Bagaimana menentukan penyimpangannya dari nilai sebenarnya? Bila dilakukan pengukuran kali berapakah tingkat kepercayaannya? Bagaimana kalau pengukurannya kali dimana ?

  1. NILAI PENDEKATAN TERBAIK DAN KETIDAKPASTIAN HASIL PENGUKURAN BERULANG

Meskipun pengukuran berulang sangat disarankan, namun jumlahnya tetaplah terbatas. Oleh sebab itu pengukuran berulang kali disebut contoh (sample). Sementara itu dari berbagai literatur dijelaskan bahwa sebaran atau distribusi data pengukuran berulang tak berhingga bersifat simetri Gauss. Untuk sekumpulan data yang diperoleh dengan pengukuran berulang terbatas kali, distribusi datanya akan semakin simetri bila semakin besar.

Dari data yang diperoleh dengan pengukuran berulang, akan dapat diperoleh tiga besaran yaitu nilai rata-rata (mean) sampel, nilai tengah (median) sampel, dan nilai terbanyak muncul (modus) sampel. Manakah yang patut dipakai sebagai nilai pendekatan terbaik?

Bila distribusi data hasil pengukuran kali dipercayai seperti distribusi Gauss (simetri), maka nilai ketiga besaran tersebut sama. Nilai pendekatan terbaik yang paling tepat adalah nilai rata-rata sample karena sesuai dengan asas kuadrat terkecil (Principle of Least Square) dalam statistik yang berbunyi “Nilai terbaik diantara sekumpulan nilai suatu besaran adalah nilai yang sedemikian rupa sehingga jumlah selisih nilai-nilai lain terhadap nilai tersebut setelah dikuadratkan adalah sekecil-kecilnya”.

    Jika pada suatu besaran diukur secara berulang-ulang tanpa mengubah setting alat, maka hasil ukur terbaik merupakan nilai rata-ratanya. Untuk pengukuran yang diulangi sampai n kali dengan hasil maka nilai rata-ratanya adalah:

      (1)

    ketidakpastian nilai rata-rata sampel dinyatakan dengan simpangan baku (deviasi standar, ) :

      (2)

dengan adalah data pengukuran ke i, dan rata-rata hasil ukur. pada pers. (2) dapat diinterpretasikan sebagai simpangan tiap data terhadap nilai pendekatan terbaiknya . Kuadrat dipakai agar tak ada perbedaan simpangan akibat atau , sementara faktor muncul karena data yang diperoleh dianggap sebagai sampel dari semesta data hasil pengukuran besaran yang bersangkutan.

Cara semacam ini akan memberi informasi yang cukup kepada kita tentang kualitas kumulatif hasil pengukuran, karena tidak praktis kalau dibeberkan satu persatu penyimpangan tiap data terhadap nilai pendekatan terbaik. Apresiasi khalayak akan muncul dengan melihat komposisi dan . Contohnya, bila ada dua orang melakukan pengukuran terhadap obyek yang sama dengan peralatan yang sama. Pelaku A menghasilkan data 39,5 cm 40,0 cm dan 40,5 cm sedangkan Pelaku B memperoleh data 39,9 cm, 40,0 cm dan 40,1 cm. Bila dilihat dari nilai pendekatan terbaik saja, kedua orang tersebut menghasilkan data yang sama baiknya. Namun dengan melihat data yang diperoleh sepintas, segera diketahui bahwa Pelaku B patut mendapat penghargaan lebih. Oleh karena itulah antara lain, hasil pengukuran perlu disampaikan dalam format

      [satuan] (3)

    dengan ketidakpastian . Format tersebut secara statistik diberi pengertian apabila pengukuran besaran diulang kali, ada jaminan 68% bahwa nilai rata-rata sebagai nilai pendekatan terbaik akan berselisih tidak lebih dari terhadap nilai sebenarnya.

    Perhatikan bahwa semakin besar , ketidakpastian semakin kecil, yang berarti kualitas hasil pengukuran makin baik. Dapat dinalar pula misalnya dengan kali pengukuran diperoleh ketidakpastian , maka bila diinginkan ketidakpastian 10 kali lebih baik () harus dilakukan 100 pengukuran. Namun dapat ditempuh cara lain yaitu dengan mempergunakan alat yang 10 kali lebih teliti hanya dengan jumlah pengukuran N akan diperoleh ketelitian (). Tentu saja kemudahan ini harus dibayar dengan mahalnya alat yang digunakan karena 10 kali lebih teliti.

Contoh hasil pengukuran data yang dianggap sebagai sampel yang mengikuti distribusi Gauss sebagaimana ditampilkan pada Tabel 1.

Dari pengolahan data diperoleh dan dengan menggunakan pers. (2) didapatkan ketidakpastian . Jadi

    Perhatikanlah jumlah angka berarti (angka penting) hasil yang disampaikan () ada 4, padahal data pengukuran () hanya 3. Ini wajar sebagai imbalan atas pengukuran 10 kali. Mengenai angka berarti akan dibicarakan di bagian berikutnya.

      Tabel 1. Contoh data hasil pengukuran secara berulang

(cm) (cm2)
1 10,1 100,00
2 10,2 104,04
3 10,0 100,00
4 10,0 100,00
5 9,8 96,04
6 10,1 102,01
7 9,8 96,04
8 10,3 106,09
9 9,8 96,04
10 10,0 100,00










  1. NILAI PENDEKATAN TERBAIK DAN KETIDAKPASTIAN PENGUKURAN SATU KALI

Kadang-kadang dijumpai suatu keadaan sedemikian sehingga pengukuran berulang tak bisa dilakukan. Misalnya persiapan pengukuran sedemikian rumit, lama dan membutuhkan biaya serta tenaga yang banyak. Atau bisakah Anda mengukur kecepatan satu mobil yang lewat di depan kampus berkali-kali? Keadaan seperti itu membolehkan pengukuran dilakukan sekali. Tentu saja tak dapat dicari dengan Pers. (2). Pengukuran sekali menghasilkan skala terkecil alat ukur yang dipakai. Namun bila hasil pengukuran sekali akan digunakan untuk menghitung besaran lain, maka skala terkecil alat ukur. Hal terakhir ini akan dibicarakan pada penentuan ketidakpastian akibat ketidakpastian dengan sifat yang berbeda.

Misalnya sebuah buku yang diukur dengan mistar berskala terkecil 1 mm dan dilakukan sekali saja panjangnya adalah 31,1 cm, maka hasilnya disajikan dalam bentuk

  1. KETIDAKPASTIAN RELATIF DAN KESEKSAMAAN

Nilai pada bentuk () adalah ketidakpastian mutlak (absolut) yang memiliki satuan sama dengan . Cara lain untuk melaporkan hasil pengukuran adalah dengan menuliskan ketidakpastian relatif yaitu yang tidak bersatuan atau dinyatakan dalam % dengan cara . Cara seperti ini memberi informasi lebih daripada penulisan ketidakpastian mutlaknya. Contohnya, dua pengukuran dengan alat yang sama terhadap obyek berbeda, masing-masing dilakukan sekali, menghasilkan data sebagai berikut:

      = (10 ± 0,5) mm

      = (100,0 ± 0,5) mm

Ketidakpastian mutlak keduanya sama tetapi ketidakpastian relatifnya berbeda, yang pertama 5 % dan yang kedua . Jadi alat tadi menghasilkan ketelitian 10 kali lebih baik bila dipakai mengukur jarak 100 mm daripada mengukur 10 mm.

Ketidakpastian relatif ini dapat pula dipakai untuk menentukan suatu ukuran kualitas yang disebut keseksamaan. Jika pengukuran ideal diberi nilai 100 % seksama, maka ketidakpastian relatif dalam satuan persen dianggap sebagai selisih keseksamaan sebenarnya (riil) terhadap keseksamaan ideal. Jadi

Untuk contoh terakhir di atas = (10 ± 0,5) mm dan = (100,0 ± 0,5) mm keseksamaan masing-masing adalah 95 % dan 99,5 %. Jelas bahwa hasil kedua lebih baik.

  1. ANGKA BERARTI (ANGKA PENTING)

Ketelitian (precision) hasil eksperimen dicerminkan oleh banyak digit bilangan hasil perhitungan. Teknologi kalkulator memungkinkan perhitungan dengan banyak angka dibelakang desimal dapat dilakukan dengan mudah. Namun hal tersebut tidaklah berarti ketelitian dapat ditentukan sembarang. Jumlah angka berarti sebagai gambaran hasil eksperimen harus memperhatikan ketelitian alat yang digunakan seperti contoh sebelumnya. Angka berarti yang terdapat dalam hasil eksperimen didefinisikan:

  1. Angka terkiri bukan nol adalah digit paling berarti (most significant digit/MSD).
  2. Jika tak ada tanda desimal (koma) maka angka terkanan bukan nol adalah digit paling kurang berarti (least significant digit/LSD).
  3. Jika ada tanda desimal (koma) maka angka terkanan adalah digit paling kurang berarti, meskipun digit tersebut nol.
  4. Angka diantara LSD dan MSD adalah angka berarti.

    Nilai-nilai pada contoh berikut ini memiliki 4 angka berarti: 1234; 123.400; 123,4; 1001; 1000; 10,10; 0,0001010; 100,0. Namun ada kemungkinan ambigu pada angka tanpa tanda desimal (koma) ketika angka paling kanan adalah nol. Angka 1010 akan dianggap 3 angka berarti padahal nol terakhir memiliki arti fisik yang jelas. Untuk menghindari hal tersebut gunakan saja tanda desimal atau pakai notasi scientific yaitu angka dalam notasi desimal dikalikan dengan perpangkatan 10 (power of ten). Jadi 1010 dapat ditulis 1010, (tak lazim) atau 1,010 x 103 jika keempat angka tersebut berarti.

Hal penting lain yang perlu diperhatikan adalah pemotongan atau pembulatan angka. Jumlah angka berarti biasanya 1 angka lebih banyak daripada ketelitian eksperimen. Alasannya adalah untuk menghindari kesalahan akibat pembulatan disaat-saat berikutnya. Contoh bila hasil eksperimen adalah = 1,979 m dengan ketidakpastian 0,012 m, hasil ini dituliskan = (1,979 ± 0,012) m. Namun bila angka pertama dari ketidakpastian besar seperti misalnya 0,082 m, maka kita tuliskan = (1,98 ± 0,08) m.

    Pembulatan angka yang kurang berarti dilakukan agar diperoleh akurasi terbaik. Caranya:

  1. Jika bagian tersebut lebih dari 0,5 maka bulatkan ke atas.
  2. Jika kurang dari 0,5 maka bulatkan ke bawah.
  3. Jika sama dengan 0,5 maka bulatkan ke bilangan genap terdekat.

    Contoh untuk panduan ketiga: bilangan 1,25 bila hendak dibulatkan akan menjadi 1,2 tetapi bilangan 1,35 bila hendak dibulatkan akan menjadi 1,4.

Tindakan lain yang juga disarankan adalah tidak melakukan pembulatan sebelum hasil akhir diperoleh. Jadi bila Anda menggunakan kalkulator, bulatkan hasil perhitungan paling akhir saja.

  1. ACCURACY, PRECISION, ERROR DAN UNCERTAINTY

    Penting sekali untuk membedakan beberapa istilah yang sering dijumpai saat hasil eksperimen disampaikan.

      Accuracy (akurasi – ketepatan) adalah suatu ukuran seberapa dekat hasil eksperimen dengan nilai sebenarnya. Jadi nilai ini sebanding dengan ketepatan hasil.

      Precision (presisi – ketelitian) adalah ukuran seberapa baik hasil eksperimen telah ditentukan tanpa mengacu pada nilai sebenarnya. Ketelitian lebih mengarah pada pengertian seperti kekonsistenan hasil. Alat yang menghasilkan data seperti angka sebelumnya dikatakan alat yang teliti, tidak peduli apakah hasil tersebut tepat atau tidak dengan nilai sebenarnya.

      Error (ralat – kesalahan) adalah perbedaan antara hasil observasi atau pengukuran dengan nilai sebenarnya.

      Uncertainty (ketidakpastian) berkaitan dengan fluktuasi simpangan data terhadap nilai pendekatan terbaik , sebagai gambaran kualitas hasil pengukuran atau perhitungan.

  1. RAMBATAN KESALAHAN

Roti dibuat dari beberapa bahan antara lain terigu, gula, pengembang yang akan diproses dengan suatu cara tertentu. Kesalahan dalam memilih atau menimbang terigu atau gula jelas akan mempengaruhi kualitas rotinya. Demikian pula bila tatacara pembuatannya keliru, juga akan mempengaruhi kualitas roti. Pesan ilustrasi di atas adalah bahwa kesalahan pada tindakan awal akan menentukan kualitas hasil akhir.

Analogi perumpamaan sederhana tersebut dapat dijumpai dalam penentuan suatu besaran dengan eksperimen. Misalnya pada penentuan luas meja praktikum melalui pengukuran panjang dan lebar (tak ditentukan pengukuran masing-masing sekali atau lebih). Pengukuran panjang akan menghasilkan ketidakpastian yang sebanding dengan kesalahan pengukuran, demikian pula pada penentuan lebar meja. Ketidakpastian panjang dan lebar meja pasti akan memberi kontribusi pada ketidakpastian luas. Selain itu proses interaksi besaran panjang dan lebar dalam penentuan luas, seperti halnya proses pembuatan roti tadi, akan memberi sumbangan pula terhadap ketidakpastian luas.

Panjang meja :

Lebar meja :

Luas meja : hasilnya dinyatakan dalam () m2.

Ketidakpastian , serta proses akan berkontribusi dalam penentuan . Bila dan diukur maka dan

      (4)

Marilah kita interpretasikan secara sederhana arti pers. (4). Lambang adalah simbol operasi diferensial (turunan) parsial, yaitu turunan terhadap salah satu variabelnya, yang menyatakan bagaimana perubahan pada mempengaruhi terhadap ; anggap saja seperti pengaruh dalam penentuan . Demikian pula . Jelas bahwa pers. (4) adalah cara menentukan ketidakpastian dari ketidakpastian masing-masing variabel dan dari proses interaksinya.

Secara umum bila sebuah besaran diperoleh dari hubungan dengan variabel-variabelnya seperti berikut

      (5)

    Maka ketidakpastian adalah :

      (6)

d

d

    Untuk lebih jelasnya marilah kita perhatikan contoh berikut ini. Eksperimen sederhana untuk menentukan volume silinder pejal dilakukan dengan mengukur diameter dan tinggi silinder tersebut berulang-ulang. Cara memperoleh data diameter dan tinggi silinder yang demikian menyebabkan kedua data bersifat sama; diperoleh dari pengukuran berulang.

            Volume silinder (V) = luas penampang lingkaran silinder ´

            tinggi silinder

      (7)

atau

      (8)

    dengan d dan t adalah diameter dan tinggi silinder.

    Berikut ini adalah contoh hasil pengukuran dan yang disajikan dalam tabel

(cm) (cm) = (cm)2 = (cm)2
1 2,34 10,51 0,000081 0,000025
2 2,31 10,5 0,000441 0,000025
3 2,31 10,51 0,000441 0,000025
4 2,33 10,5 0,000001 0,000025
5 2,32 10,5 0,000121 0,000025
6 2,35 10,52 0,000361 0,000225
7 2,33 10,5 0,000001 0,000025
8 2,33 10,51 0,000001 0,000025
9 2,34 10,5 0,000081 0,000025
10 2,35 10,5 0,000361 0,000025
2,331 10,505
0,00189 0,00045

Ketidakpastian diameter dan tinggi silinder diperoleh melalui Pers. (2) dengan hasil angka-angka pada tabel sebelah kiri.



    Untuk menuliskan hasil akhir, perhatikan rambu-rambu berikut:

  1. Jika diukur dengan mistar berskala terkecil 1 mm (0,1 cm), angka kedua dibelakang koma adalah taksiran. Karenanya meskipun pengukuran berulang menjadikan hasil lebih teliti, ada baiknya supaya aman batasi sampai taksiran tersebut (dua angka dibelakang koma). Jadi = 2,33 cm (Ada 3 angka berarti; angka 1 dibulatkan ke bawah). Bila diperoleh dengan mistar yang sama, maka penulisannya =10,50 cm (Ada 4 angka berarti. Ingat, angka lima terakhir dibulatkan ke angka genap terdekat. Jika aslinya 10,515 cm maka pembulatnnya adalah 10,52 cm).
  2. Penulisan hasil = (2330 ± 4) x 10-3 cm atau d = (23,30 ± 0,04) mm.

    Penulisan hasil = (10500 ± 2) x 10-3 cm atau t = (105,00 ± 0,02) mm.

    Proses berikutnya adalah menentukan volume silinder.

      diubah menjadi

    dan dengan mengambil p =3,14, maka

    Ketidakpastian volume diperoleh dari pers.(6) yang telah disesuaikan, yaitu:

      (9)

    Perhatikan rumus ini baik-baik, adalah sedangkan dan disesuaikan menjadi dan . Perhatikan pula ketidakpastiannya. Selanjutnya menentukan dan ,

      diubah jadi

    dan

      diubah menjadi .

    Jadi

    dan

    Bila nilai-nilai ini dimasukkan ke Pers. (7), begitu pula nilai dan yang telah didapat, akan diperoleh :

    Hasil-hasil ini dituliskan sebagai .

    (Kenapa diambil dua angka dibelakang koma untuk satuan cm?)

  1. KETIDAKPASTIAN YANG BERLAINAN SIFAT

Pengertian berlainan sifat pada ketidakpastian adalah ketidakpastian yang diperoleh dari pengukuran sekali dan ketidakpastian yang diperoleh dari pengukuran berulang, akan digunakan dalam penentuan ketidakpastian besaran lain. Misalnya pada contoh penentuan volume silinder bahasan sebelumnya, diameter diukur sekali dan tinggi silinder diukur berulang. Pers.(7) tetap digunakan, tetapi diambil dari sepertiga skala terkecil. Alasannya adalah:

    • Pengukuran berulang : memiliki tingkat kepercayaan 68%.
    • Pengukuran tunggal : karena hanya diukur sekali, mau tidak mau kita harus mengambil (percaya penuh) hasilnya, dengan nilai ½ skala terkecil dipercaya 100%.
    • Tingkat kepercayaan 68% dan 100% harus disamakan dengan cara mengubah kepercayaan 100% menjadi 68% :

    • Perhitungan lainnya sama seperti contoh penentuan volume silinder bab sebelumnya.
  1. KETIDAKPASTIAN DARI GRAFIK BESARAN DENGAN VARIABEL DIUBAH

    Selain pengukuran berulang, dilakukan pula pengambilan data suatu besaran engacu pada besaran lain yang berubah. Contoh:

  1. Posisi benda bergerak pada berbagai waktu pengamatan untuk menentukan kecepatan dan percepatan benda. Posisi diukur saat yang berbeda-beda.
  2. Pengukuran periode ayunan matematis untuk berbagai panjang tali bandul, pada percobaan penentuan percepatan gravitasi bumi.
  3. Pengukuran panjang gelombang suara untuk frekuensi yang berbeda-beda, pada eksperimen penentuan laju suara.
  4. dan lain-lain.

Cara mudah dan komunikatif untuk menyampaikan hasil percobaan semacam ini adalah dengan grafik (gambar) karena satu grafik akan dapat memberi informasi-informasi hasil pendekatan terbaik beserta simpangannya. Grafik yang mudah dianalisis adalah grafik linier atau garis lurus yang mempunyai model , dimana adalah variabel bebas yang diletakkan pada sumbu datar, dan adalah variabel terikat (bergantung ) yang diletakkan pada sumbu tegak. Sementara adalah kemiringan (gradien) garis dan adalah titik potong garis lurus dengan sumbu tegak. Secara teoritis pasangan titik () akan membentuk garis lurus. Inilah garis lurus sebenarnya yang tidak akan pernah diperoleh. Pasangan data yang diperoleh dari pengukuran sedikit banyak mempunyai simpangan terhadap garis lurus sebenarnya (teoritis). Kalau titik-titik hasil pengukuran dihubungkan tak akan membentuk garis lurus. Bagaimana mencari garis lurus pendekatan terbaik? Bagaimana simpangannya? Jika diingat-ingat persoalan ini mirip dengan pengukuran berulang: mencari nilai pendekatan terbaik (rata-rata) terhadap nilai sebenarnya, beserta ketidakpastiannya.

Perhatikanlah dalam eksperimen akan diperoleh pasangan data riil hasil pengukuran yang tak mungkin membentuk garis lurus. Indeks menyatakan pengukuran ke-. Garis lurus pendekatan (estimasi) terbaik hanya bisa diperoleh dari data hasil pengamatan karena cuma data itu yang dimiliki. Dimisalkan Pers. garis lurus pendekatan terbaik tersebut adalah :

      (10)

Ingat bahwa dan diperoleh dari pengamatan, sedangkan dihitung berdasarkan Pers.(8). Nilai mewakili data hasil pengamatan dan mewakili nilai pendekatan terbaik yang akan memberikan garis lurus pendekatan terbaik. Bagaimana memperoleh dan ?

Disini tak akan diuraikan bagaimana dan diturunkan melainkan langsung rumusnya.

    (11)

    (12)

    Hasil Pers. (9) dan (10) dapat digunakan untuk menentukan pasangan titik-titk yang akan membentuk garis lurus pendekatan terbaik. Bagaimana ketidakpastian , dan ?

      (13)

    Ketidakpastian ini disebut standard error of estimate atau taksiran terbaik simpangan baku (ralat baku estimasi). Perhatikan dapat diartikan sebagai simpangan kumulatif antara hasil pengamatan dengan nilai pendekatan.

      (14)

      (15)

    Untuk memperjelas uraian di atas berikut ini dibahas contoh model dan data eksperimen ayunan matematis.

      (16)

    Hubungan T dan l tidak linier. Pers.(16) perlu disesuaikan sehingga diperoleh hubungan antar variabel yang linier. Untuk itu Pers. (16) diubah menjadi

      atau (17)

Persamaan ini analog dengan Pers.(10), di mana , dan . Sedangkan dicari dari rumus.

Misalkan data hasil pengukuran eksperimen ayunan matematis adalah seperti disajikan pada Tebel 2.

    Tabel 2 Data pengukuran eksperimen ayunan matematis

i L T l2 T2 lT2
1 0,60 1,56 0,36 2,4336 1,4602
2 0,70 1,68 0,49 2,8224 1,9757
3 0,80 1,80 0,64 3,2400 2,5920
4 0,90 1,90 0,81 3,6100 3,2490
5 1,00 2,00 1,00 4,0000 4,0000
6 1,10 2,11 1,21 4,4521 4,8973
7 1,20 2,20 1,44 4,8400 5,8080
8 1,30 2,28 1,69 5,1984 6,7579
9 1,40 2,40 1,96 5,7600 8,0640
10 1,50 2,51 2,25 6,3001 9,4502
S 10,50 20,44 11,85 42,6566 48,2542

Pasangan data hasil pengukuran adalah (). Penentuan dan dilakukan dengan Pers.(11) dan (12) yang disesuaikan dengan notasi eksperimen ini :

      (18)

      (19)

    Diperoleh dan . Seperti besaran lainnya, dan harus dicari ketidakpastiannya dengan Pers. (14) dan (15) setelah dan Pers. (13) diselesaikan. Nilai-nilai diperoleh dari Pers.(10), yang diubah menjadi . Jika digabung dengan data sebelumnya akan diperoleh :

1 0,60 1,56 0,36 2,4336 1,4602 2,663920 0,053047
2 0,70 1,68 0,49 2,8224 1,9757 3,083895 0,068379
3 0,80 1,80 0,64 3,2400 2,5920 3,503869 0,069627
4 0,90 1,90 0,81 3,6100 3,2490 3,923844 0,098498
5 1,00 2,00 1,00 4,0000 4,0000 4,343818 0,118211
6 1,10 2,11 1,21 4,4521 4,8973 4,763793 0,097152
7 1,20 2,20 1,44 4,8400 5,8080 5,183767 0,118176
8 1,30 2,28 1,69 5,1984 6,7579 5,603742 0,164302
9 1,40 2,40 1,96 5,7600 8,0640 6,023716 0,069546
10 1,50 2,51 2,25 6,3001 9,4502 6,443691 0,020618
S 10,50 20,44 11,85 42,6566 48,2542 45,538055 0,877557

    Dengan Pers. (11), akan diperoleh . Selanjutnya

    ®

    ®

    Hasilnya dan

    Sebelum dihitung, marilah kita lihat grafik berikut.

    Data pengukuran tidak boleh dihubungkan dengan garis lurus atau patah-patah. Hanya data estimasi yang dihubungkan dengan garis lurus. Garis lurus ini adalah garis lurus pendekatan terbaik untuk eksperimen ayunan matematis tersebut. Jika titik-titik hasil pengukuran cukup dekat dengan titik-titik estimasi, data eksperimen dianggap berkualitas baik. Selanjutnya menentukan .

    Analisis sebelumnya memperlihatkan , maka :

    Sesuai aturan . Berapakah ? Berdasarkan Pers. (6) maka :

    Hasil tersebut dilaporkan dengan pertimbangan ketelitian dua angka dibelakang koma, merujuk ketelitian alat yang digunakan.

    Jadi .

  1. TAMBAHAN-TAMBAHAN

    Selain berbagai uraian di atas, kiranya perlu diperhatikan pula beberapa hal berikut.

  1. Bila dengan dapat berupa bilangan bulat atau pecahan, maka ketelitian hasil pengukuran menurun jika , tapi membaik bila .
  2. Bila , ketidakpastian akan membesar cepat sekali bila . Jadi harus diukur dengan alat yang paling teliti yang tersedia.
  3. Bila , untuk sudut kecil akan menghasilkan ketelitian yang gawat.
  4. Bila , maka . Ketelitian relatif menjadi merosot sekali bila . Untuk menghindari itu, jangan mengukur dan secara terpisah, melainkan lakukan pengukuran keduanya berbarengan. Misal pada pengukuran beda potensial, langsung ukur beda potensial antara dua titik tanpa masing-masing titik diukur lebih dulu tegangannya ke tanah (ground).
  5. Bila dengan dan bulat ataupun pecahan, maka jikalau adalah lebih besar dari , pengukuran harus diusahakan dengan alat yang 10x lebih teliti daripada alat untuk mengukur .
  6. Pemanfaatan grafik garis lurus seperti pada point ke-M, harus digunakan model hubungan linier antara variabel-variabel yang dilibatkan. Misalnya, model asli ayunan matematis perlu diubah dulu menjadi seperti Pers.(13.a) sehingga diperoleh hubungan linier antara terhadap . Contoh lainnya adalah . Meskipun pada eksperimen ini diukur dan , namun analisis dan grafik dibuat atas hubungan linier antara terhadap . Kasus-kasus ini dinyatakan dengan istilah “pelurusan persamaan”.
  7. Contoh lainnya model dengan dan adalah konstanta, diukur dan . Bila dan diplot langsung akan diperoleh grafik eksponen yang tidak lurus sehingga Pers. (8), (9) dan yang terkait tak boleh dipakai. Untuk meluruskan model ini ubah menjadi . Model baru ini memperlihatkan bahwa hubungan terhadap linier dengan gradient dan konstanta .


http://72.14.235.132/search?q=cache:3z_B_rpMHvgJ:www.geocities.com/wave_199/PENGUKURAN.doc+ayunan+matematis&cd=17&hl=id&ct=clnk&gl=id

Jum'at 10.00

2 komentar: